SISTEMA DE ALGORITMOS

SISTEMA DE ALGORITMOS

Algoritmo 2: 

Descomposición de Hodge (k=1) para WIST-741

El objetivo para el flujo especificado (1-formas en las costillas) \omega\in\mathb{R}\m buscar: \omega = \omega_{\mathrm{grad}} + \omega_{\mathrm{curl}} + h,

donde:

• \omega_{\mathrm{grad}} = d_0\varphi = B^\top\varphi,
• \omega_{\mathrm{curl}} = \delta_2\psi,
• h Armónica 1-forme satisfactorio
  \delta_1 h = 0,\qquad d_1 h = 0.

Datos iniciales

• Gráfico G=_V,E), /V=n=741, /E=m.
• Peso de las costillas (conductores) c_e>0 o valor w_e>0.
• Triángulos F (2-simplex) para Default Triangles v0.1, ○F=p.
• El flujo de \omega\in\mathb{R} sobre costillas orientadas.

Paso 0. Peso y metric

0.1. Si tienes un valor w_e, mándalo a la experiencia.

c_e=\exp(-w_e/\tau).

Recoge:W_1=\mathrm{diag}_c_e)\in\mathb{R}\{m\times m}.

0.2. Peso de los triángulos

Por incumplimiento:

W_2=\mathrm{diag}(w_t),\quad w_t=\frac{1}{3}(c_{ij}+c_{ik}+c_{jk}).

Paso 1. Recoger operadores fronterizos B y B_2

1.1. Incidente del nudo

B/in\mathb{R}_\n\times m} por la dirección de las costillas seleccionada.

1.2. Incidencia de la costilla y triángulo

B_2\in\mathbb{R}^{m\times p}

por la orientación canónica de los triángulos t=[i,j,k] (con i{j}k) y la regla:

\partial[i,j,k]=[j,k]-[i,k]+[i,j].

Paso 2. Determinar d y \delta

Diferenciales especiales:

d_0 = B^\top : \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\qquad d_1 = B_2^\top : \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p.

Códigos ponderados:

\delta_1 = B W_1 : \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n,

\delta_2 = W_1^{-1} B_2 W_2 : \mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^m.

(Esto está acordado con las obras de escalar \langle\cdot,\cdot\rangle_1 = \cdot\top W_1 \cdot y \langle\cdot,\cdot\rangle_2 = \cdot\top W_2 \cdot.)

Paso 3. Encuentra el gradiente \omega_{\mathrm{grad}}

\warphi\in\mathb{R}_n:

\varphi = \arg\min_{\varphi}\|\omega - d_0\varphi\|_{W_1}^2.

Ecuaciones normales:

L_0\,\varphi = \delta_1 \omega, \qquad L_0 := \delta_1 d_0 = B W_1 B^\top.

3.1. Calibración (necesaria)

Como L_0 tiene un núcleo (constantes), hacemos una de las siguientes:

• Grabando \varphi_{v_0}=0
• o añadir una condición \sum_i \varphi_i = 0

3.2. Recibido.

\omega_{\mathrm{grad}} = d_0\varphi = B^\top\varphi,

r_1 = \omega - \omega_{\mathrm{grad}}.

Supervisión:

\delta_1 r_1 = 0 \quad (\text{con precisión hasta el error numérico}).

Paso 4. Encuentra la parte lateral de \omega_\mathrm{curl}} a través de \psi en triángulos

Buscando \psi\in\mathb{R}

\psi = \arg\min_{\psi}\|r_1 - \delta_2\psi\|_{W_1}^2.

Ecuaciones normales:

L_2\,\psi = d_1 r_1, donde

L_2 := d_1 \delta_2 = B_2^\top W_1^{-1} B_2 W_2.

4.1. Calibración para \psi

Si el complejo tiene 2- ciclistas, L_2 También puede ser degenerado:

• condición \sum_t \psi_t=0
  \psi_{t_0}=0.

4.2. Recibido.

\omega_{\mathrm{curl}} = \delta_2\psi = W_1^{-1} B_2 W_2\psi,

h = r_1 - \omega_{\mathrm{curl}}.

Paso 5. Pruebas y diagnósticos de calidad

5.1. Armonía

Comprobamos dos condiciones:

• Divergención cero:
  \|\delta_1 h\|_2 \approx 0
• Vórtice cero:
  \|d_1 h\|_2 \approx 0

Si ambos son pequeños, la descomposición es correcta.

5.2. Ortogonalidad (en W_1-metricidad)

Comprobando:

\langle \omega_{\mathrm{grad}}, \omega_{\mathrm{curl}}\rangle_{1}\approx 0, \quad \langle \omega_{\mathrm{grad}}, h\rangle_{1}\approx 0, \quad \langle \omega_{\mathrm{curl}}, h\rangle_{1}\approx 0.

5.3. Energía de los componentes (diagnóstico de la estructura del alma)

Define:

E_{\mathrm{grad}}=\|\omega_{\mathrm{grad}}\|_{W_1}^2,\quad E_{\mathrm{curl}}=\|\omega_{\mathrm{curl}}\|_{W_1}^2,\quad E_h=\|h\|_{W_1}^2.

Interpretación:

• E_{\mathr{grad}}: sistema de potencia (puede reducirse a una nueva configuración de niveles)
• Gran E_\mathr{curl}}: Dominan los circuitos y ritmos locales
• Gran E_h: una memoria estructural sólida (no se borra por difusión)

Paso 6. Construir 1-laplasiano y recordar el cristal como núcleo

Define Hodge Laplusian en 1-formes:

\Delta_1 = d_0\delta_1 + \delta_2 d_1.

En las matrices (según nuestras definiciones):

\Delta_1 = B^\top B W_1 + W_1^{-1} B_2 W_2 B_2^\top.

Memoria del cristal en el nivel k=1: \dim\ker\\Delta_1) \;=\; b_1

(Primer número de Betty Complejo, con una discrecionalidad correcta).

Prácticamente:

• Encuentra algunos valores propios \lambda\approx 0
• \lambda = tamaño de la memoria

Salida de Algoritma 2

• \omega_{\mathrm{grad}}\in\mathbb{R}^m
• \omega_{\mathrm{curl}}\in\mathbb{R}^m
• h\in\mathbb{R}^m
• Mediciones de diagnóstico: \\\delta_1 h\, \d_1 h\, energía E, y \dim\ker_\Delta_1)

Mínimo de lanzamiento práctico en WIST-741

Si quieres ponerlo en marcha sin entrenamiento a largo plazo:

• Grafo: kNN (k=12), pesos c_e=\exp(-w_e/\tau)
• Triángulos: Círculos de tamaño 3 con cap=60/caldo
• Resumen: B, B_2, W_1, W_2
• Decir dos veces simetrías cortadas (para \varphi y \psi)
• Diagnóstico: normas y energía, luego espectro \Delta_1 cerca de cero

Si quieres, le daré el siguiente paso al algoritmo 3: "Christall Dusha" Difusión en 1-formes: Cómo iniciar \frac{d\omega}{dt}=-\Delta_1\omega

y ver cómo \omega_t busca h, más cómo conectar el control de \mathcal{U}.

Algoritmo 3: 

Difusión en 1 y presentación de memoria de Crystal Ducha (WIST-741).

Objetivo

Iniciar la dinámica de flujo (1-formas en costillas) de la siguiente manera:

• Limpiar las tensiones locales y las vihri
• Detectar el componente armónico h (memorándum estructural)
• Cuando sea necesario, gestionar el proceso mediante influencias externas

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• Matriz cortada B, B_2 (de Algoritmo 2)
• Matriz de peso W_1=\mathrm{diag}_c_e), W_2=\mathrm{diag}_w_t)
• Corriente primaria (1-forme) \omega_0\in\mathb{R}
• \mathcal{U}\t\in\mathb{R} o impulsos

Preparación: reunir Hodge Laplausian en 1-formes

Se utiliza un formulario de incumplimiento convenido (de algoritmo 2):

\Delta_1 = d_0\delta_1 + \delta_2 d_1

donde

d_0=B^\top,\quad \delta_1=B W_1,\quad d_1=B_2^\top,\quad \delta_2=W_1^{-1}B_2W_2.

En dos contribuciones:

1) Contribución superior (grados)

\Delta_{1,\mathrm{up}} = d_0\delta_1 = B^\top B W_1

2) Contribución (contributiva)

\Delta_{1,\mathrm{down}} = \delta_2 d_1 = W_1^{-1} B_2 W_2 B_2^\top

Total

\Delta_1=\Delta_{1,\mathrm{up}}+\Delta_{1,\mathrm{down}}.

Parte A. Difusión lineal (sin control)

A1. Dinámica continua

\frac{d\omega}{dt} = -\Delta_1\,\omega.

La decisión es formal:

\omega(t)=e^{-t\Delta_1}\,\omega_0.

Significado: Todos los componentes que están fuera de \ker\Delta_1 se están apagando. Queda una proyección del núcleo de la memoria armónica.

A2. Definitivamente en el tiempo: El Aler (falso incumplimiento)

Elijamos el paso \Delta t.0 y pensamos:

\omega_{k+1} = \omega_k - \Delta t\,\Delta_1\,\omega_{k+1}

Es decir, decidimos el sistema lineal:

(I+\Delta t\,\Delta_1)\,\omega_{k+1}=\omega_k.

¿Por qué?

Un paso implícito es estable para cualquier \Delta t.

A3. Parada: Cuando la memoria se hizo pública

La parada se basa en uno de los criterios siguientes:

• un poco de cambio.
  \frac{\|\omega_{k+1}-\omega_k\|_{W_1}}{\|\omega_k\|_{W_1}} < \varepsilon_{\mathrm{stop}}
• Un poco de energía fuera del núcleo (déficit de oscurecer)
  \|\Delta_1\omega_k\|_2 < \varepsilon_{\mathrm{lap}}

Resultado: h/approx \omega_k

Parte B. Diagnóstico a lo largo del proceso

En cada paso, cuenta tres valores (que son útiles para la tarjeta del alma):

B1. Divergencia (fuga/ingreso)

\mathrm{div}(\omega_k)=\delta_1\omega_k=B W_1\omega_k\in\mathbb{R}^n.

B2. Vórtice (circulación triangular)

\mathrm{curl}(\omega_k)=d_1\omega_k=B_2^\top\omega_k\in\mathbb{R}^p.

B3. Energía (voltaje)

E(\omega_k)=\|\omega_k\|_{W_1}^2=\omega_k^\top W_1\omega_k.

Interpretación del proceso de difusión:

• \\mathrm{div}\-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• \\mathrm{curl}\ \Caminando la circulación local
• Queda h, donde la divergencia y el vórtice se acercan a cero.

Parte C. Difusión controlada (intervención)

C1. Modelo de gestión continua

\frac{d\omega}{dt} = -\Delta_1\omega + \mathcal{U}(t).

C2. Paso implícito con control

(I+\Delta t\,\Delta_1)\,\omega_{k+1}=\omega_k + \Delta t\,\mathcal{U}_k.

C3. Estrategias de rendición de cuentas en materia de gobernanza (tres regímenes)

Modo 1: Flujo local

Queremos aumentar/relacionar el flujo en la selección de costillas S\subset E:

(\mathcal{U}_k)_e= \begin{cases} u_k(e), & e\in S\\ 0,& e\notin S \end{cases}

Modo 2: "El vórtice"

Interferimos proporcionalmente:

\mathcal{U}_k = -\eta\, W_1^{-1} B_2 W_2\,(B_2^\top \omega_k)

Esto es la supresión directa de los componentes de \delta_2 d_1\omega.

Modo 3: " Reducción de la capacidad "

Intervendremos en proporción a la divergencia:

\mathcal{U}_k = -\eta\, B^\top (B W_1 \omega_k)

Esto apaga la contribución d_0\delta_1\omega.

Parte D. *La proyección de la memoria como método rápido alternativo

Si no quieres pasar el tiempo, puedes calcular la parte armónica:

h = \Pi_{\ker(\Delta_1)}\,\omega_0

Prácticamente:

• Buscar varios vectores propios \phi_1\dots,\phi_r con \lambda\approx 0
• Recoger la matriz \Phi=[\phi_1\ \dots\ \phi_r]
• Proyección:
  h = \Phi(\Phi^\top W_1 \Phi)^{-1}\Phi^\top W_1 \omega_0

Por otra parte, la difusión es útil porque da vueltas y mapas de las tensiones en el tiempo.

Salida de Algoritma 3

• secuencia \omega_k
• La memoria armónica que se ha demostrado
• Números de diagnóstico: \\\delta_1\omega_k\, \êd_1\omega_k\, E\omega_k)

Parámetros de incumplimiento (para no pensar)

• \Delta t = 1.0
• \varepsilon_{\mathrm{stop}} = 10^{-4}
• \varepsilon_{\mathrm{lap}} = 10^{-6}
• Número de pasos: máximo de 200 (normalmente menos)