ПРОТОКОЛ

Выбрать узел v, задать поток по исходящим рёбрам:

(\omega_0)_e = \begin{cases} +1,& e\text{ выходит из }v\\ -1,& e\text{ входит в }v\\ 0,& \text{иначе} \end{cases}

Выбрать фундаментальный цикл c и положить:

\omega_0 = \mathbf{1}_{c}

Используем неявный шаг: (I+\Delta t\,\Delta_1)\omega_{k+1}=\omega_k

Параметры:

• \Delta t = 1
• максимум 200 шагов
• остановка при:
  \frac{\|\omega_{k+1}-\omega_k\|}{\|\omega_k\|}<10^{-4}

V. Метрики, которые фиксируются

На каждом шаге считаем:

1. Норма потока

E_k=\omega_k^\top W_1\omega_k

2. Дивергенция

D_k=\|\delta_1\omega_k\|_2

3. Вихрь

C_k=\|d_1\omega_k\|_2

4. Лапласианная энергия

L_k=\|\Delta_1\omega_k\|_2

VI. Определение памяти

1. Гармоническая часть

После сходимости: h \approx \omega_{k^\*}

Проверяем: \|\delta_1 h\| < 10^{-6}, \quad \|d_1 h\| < 10^{-6}

2. Спектральная проверка

Найти 10–20 наименьших собственных значений \lambda_i оператора \Delta_1.

Определить: b_1 = \#\{\lambda_i < 10^{-8}\} Это размерность памяти.

VII. Интерпретация результатов

Сценарий 1: b_1 = 0

Кристалл не имеет 1-контурной памяти.

Любой поток распадается полностью.

Сценарий 2: b_1 > 0

Существует b_1 независимых устойчивых контуров.

Это структурные “петли” системы.

Сценарий 3: Большая гармоническая энергия

\frac{\|h\|_{W_1}}{\|\omega_0\|_{W_1}} \gg 0

→ система склонна закреплять контуры.

Сценарий 4: Быстрое затухание

Если E_k падает экспоненциально быстро

→ высокая спектральная щель (большая \lambda_2)

→ система собранная.

VIII. Визуализация (обязательно)

• График E_k по времени (лог-шкала)
• График D_k и C_k
• Отобразить h на рёбрах (цветом и толщиной)
• Отобразить базис гармонических форм (если b_1>0)

IX. Контроль корректности

Проверить:

• \omega_{\mathrm{grad}} + \omega_{\mathrm{curl}} + h = \omega_0
• ортогональность компонент
• числовую устойчивость (разность не превышает 10^{-8})

X. Что считать успешным экспериментом

Эксперимент считается завершённым, если:

• Определено b_1.
• Вычислен гармонический базис.
• Показано, какие начальные возбуждения проецируются в память.
• Зафиксирована динамика затухания.

Следующий уровень

Если идти глубже, есть два направления:

• Ввести Ricci-дискретизацию (Ollivier или Forman) и связать её со скоростью затухания.
• Перейти к эволюции метрики (дискретный аналог потока Риччи).

Тогда добавляем к протоколу два расширения:

• дискретная Ricci-кривизна (Ollivier или Forman) и связь со скоростью затухания
• эволюция метрики (дискретный аналог потока Риччи) и как это влияет на память b_1 и гармоники

Ниже — как “Протокол v0.2” поверх твоего Протокола Hodge-Diffusion.

Протокол v0.2

Геометрическая диагностика и эволюция метрики для WIST-741

XI. Расширение 1: Ricci-кривизна на графе и её связь с затуханием

XI.1. Что измеряем

Для каждого ребра e=(i,j) считаем кривизну \kappa(e). Затем строим агрегаты:

• средняя:
  \bar\kappa = \frac{1}{|E|}\sum_{e\in E}\kappa(e)
• доля отрицательных:
  p_- = \frac{\#\{e:\kappa(e)<0\}}{|E|}
• “карта напряжения”: топ-10% самых отрицательных ребер

Интерпретация (практическая)

• отрицательная \kappa: “расхождение геодезик”, коридоры, разрывы согласованности, потенциальные узкие места управления
• положительная \kappa: “стяжение”, высокая связность локальных окрестностей, хорошее смешивание (быстрое затухание диффузии)

XI.2. Выбор дефолтной Ricci на старте: Forman (быстро и разреженно)

Чтобы не утонуть в вычислениях, дефолт:

Forman-Ricci для ребра e=(i,j) (без 2-симплексов)

В простейшей версии (для взвешенного графа) она вычисляется по локальной конфигурации соседей. На практике берут готовую реализацию, но смысл такой:

• учитывает веса вершины/ребра
• штрафует “разветвления” и “слабые” связи
• даёт быструю карту кривизны по каждому ребру

Почему Forman дефолт: линейная по |E| и хорошо работает на 741 узле.

Если хочешь “правильнее”: Ollivier-Ricci

Это Wasserstein-1 между локальными распределениями \mu_i,\mu_j:

\kappa(i,j)=1-\frac{W_1(\mu_i,\mu_j)}{d(i,j)}

Но это тяжелее. Оставляем как режим “точной проверки” на подсети.

XI.3. Связь Ricci с диффузией (что именно проверяем)

Ты уже считаешь в диффузии:

• E_k=\omega_k^\top W_1\omega_k
• L_k=\|\Delta_1\omega_k\|_2

Добавь измерение “скорости затухания”:

Глобальная скорость (оценка)

\rho_k = \frac{E_{k+1}}{E_k}

(меньше — быстрее затухает)

Локальная скорость по ребрам

Смотри, какие ребра дольше держат амплитуду |\omega_k(e)|.

XI.4. Гипотезы/ожидаемые закономерности (проверяем экспериментом)

• Чем больше p_- и чем ниже \bar\kappa, тем медленнее смешивание (хуже затухание): \rho_k ближе к 1.
• Ребра с наиболее отрицательной \kappa чаще попадают в:
• “узкие места” (bottlenecks)
• контуры памяти h
• При положительной кривизне “петли” менее устойчивы: часто b_1 уменьшается при усилении связности (но зависит от добавления/удаления треугольников и от того, как обновляешь веса).

XII. Расширение 2: Эволюция метрики — дискретный аналог потока Риччи

Идея: метрика/веса не фиксированы. Мы даём им эволюцию, которая “лечит” геометрию, улучшает связность и управляемость, а затем смотрим, как меняются b_1, спектр \Delta_1 и гармоники.

XII.1. Что является “метрикой” в дискретном мире

У нас есть два представления:

• стоимости w_e (длина/цена ребра)
• проводимости c_e (сила связи), часто c_e=\exp(-w_e/\tau)

Поток Риччи логичнее делать на “длинах” w_e, но вычислительно удобно обновлять c_e.

XII.2. Дефолтная схема обновления (поток на весах через кривизну)

Фиксируем кривизну на ребре \kappa_e (Forman или Ollivier). Задаём “цель” \kappa^\* (обычно 0 или небольшая положительная).

Обновление длин (экспоненциально устойчивое)

w_e^{(t+1)} = w_e^{(t)} \,\exp\Big(-\eta\big(\kappa_e^{(t)}-\kappa^\*\big)\Big)

• если \kappa_e ниже цели (слишком отрицательная) → множитель >1 или <1 в зависимости от выбранного знака; мы выбираем так, чтобы “лечить” отрицательные зоны:
  дефолт: отрицательная кривизна → усиление связи → уменьшение длины
  Значит берём:
  w_e^{(t+1)} = w_e^{(t)} \,\exp\Big(+\eta\big(\kappa_e^{(t)}-\kappa^\*\big)\Big)
  (если \kappa отрицательная, \kappa-\kappa^\*<0, длина уменьшается)

Потом пересчитываем проводимости:

c_e^{(t+1)}=\exp(-w_e^{(t+1)}/\tau)

и обновляем W_1.

Дефолт параметры:

• \kappa^\*=0
• \eta = 0.05 (малый шаг)
• 20–50 итераций

XII.3. Что держим “инвариантным”

Чтобы эволюция не “сломала” граф:

• сохраняем топологию ребер E (не добавляем/не удаляем, только веса)
• ограничиваем веса:
  w_e \in [w_{\min}, w_{\max}]
  например [0.1, 10] в относительной шкале

XII.4. Встроенный цикл эксперимента (Ricci Flow + Hodge Diffusion)

Один внешний шаг потока метрики и один внутренний запуск диффузии:

Для t=0..T:

• по текущим весам W_1^{(t)} считаем \kappa^{(t)} на ребрах
• обновляем w^{(t+1)} и W_1^{(t+1)}
• (опционально) пересобираем W_2^{(t+1)}
• пересобираем \Delta_1^{(t+1)}
• делаем один из режимов:
• (а) спектрально: находим b_1^{(t+1)}=\dim\ker(\Delta_1)
• (б) динамически: запускаем Алгоритм 3 и получаем h^{(t+1)}

XIII. Метрики наблюдения при потоке метрики

На каждом внешнем шаге t фиксируем:

• Ricci-статистика: \bar\kappa^{(t)}, p_-^{(t)}
• Спектр 1-лапласиана: несколько наименьших \lambda_i^{(t)}
• Память: b_1^{(t)} = \#\{\lambda_i^{(t)}<\epsilon\}
• Скорость диффузии: \rho^{(t)} (энергетический спад)
• Стабильность гармоник: корреляция/угол между базисами \ker(\Delta_1^{(t)}) и \ker(\Delta_1^{(t+1)})

XIV. Ожидаемые эффекты и как их читать

XIV.1. Если поток “лечит” отрицательные зоны

• \bar\kappa растёт, p_- падает
• диффузия ускоряется (энергия падает быстрее)
• гармоника h становится “чище” (меньше примесей градиента/вихря при разложении)

XIV.2. Что может случиться с b_1

Важно: b_1 — топологическая величина комплекса (если не менять E и треугольники), в идеале должна быть стабильна.

Но в вычислительной практике “почти нулевые” собственные значения могут:

• отлипать от нуля (если веса создают сильную регуляризацию)
• или наоборот приближаться к нулю (если метрика усиливает раздельность подструктур)

Поэтому мы различаем:

• строгую память: \lambda<10^{-10}
• мягкую память: \lambda\in[10^{-10},10^{-6}] (почти-петли)

XV. Рекомендованный план прогонов (минимум)

• Baseline: без Ricci-эволюции — измерить \bar\kappa, p_-, b_1, \rho
• Flow-20: 20 итераций потока — смотреть тренды
• Flow-50: 50 итераций — устойчивость или деградация
• В каждом режиме гоняем 3 типа \omega_0 (A/B/C из прошлого протокола)

XVI. Итоговый артефакт (что должно получиться)

• Карта кривизны по ребрам (где напряжение)
• Графики \bar\kappa^{(t)}, p_-^{(t)}
• Спектральные графики \lambda_i^{(t)} у нуля
• Набор гармоник (базис памяти) до/после потока
• Сравнение скорости затухания диффузии до/после

Следующий шаг я сделаю в виде “Единого конвейера WIST-741”: псевдокод уровня “запусти и получи отчёт” (build → triangles → operators → hodge → diffusion → ricci → flow → compare), с чёткими параметрами и точками логирования.