محضر

اختيار الدورة الأساسية c ووضع:

\omega_0 = \mathbf{1}_{c}

الهدف: التحقق مما إذا كانت الدورة توافقية (بنيوية) أم تتلاشى.

رابعا. إجراء الانتشار

نستخدم خطوة ضمنية: (I+\Delta t\,\Delta_1)\omega_{k+1}=\omega_k

المعاملات:

• \Delta t = 1
• الحد الأقصى 200 خطوات
• التوقف عند:
  \frac{\|\omega_{k+1}-\omega_k\|}{\|\omega_k\|}<10^{-4}

خامسا. المقاييس التي تُسجَّل

في كل خطوة نحسب:

1. معيار التدفق

E_k=\omega_k^\top W_1\omega_k

2. التباعد

D_k=\|\delta_1\omega_k\|_2

3. الدوامة

C_k=\|d_1\omega_k\|_2

4. طاقة لابلاسيان

L_k=\|\Delta_1\omega_k\|_2

VI. تعريف الذاكرة

1. الجزء التوافقي

بعد التقارب: h \approx \omega_{k^\*}

نتحقق: \|\delta_1 h\| < 10^{-6}, \quad \|d_1 h\| < 10^{-6}

2. التحقق الطيفي

إيجاد 10–20 من أصغر القيم الذاتية \lambda_i للمؤثر \Delta_1.

تحديد: b_1 = \#\{\lambda_i < 10^{-8}\} هذا هو بُعد الذاكرة.

VII. تفسير النتائج

السيناريو 1: b_1 = 0

البلورة ليس لها ذاكرة محيطية 1.

أي تدفق يتحلل كليًا.

السيناريو 2: b_1 > 0

توجد b_1 محيطات مستقرة مستقلة.

هذه هي "الحلقات" البنيوية للنظام.

السيناريو 3: طاقة توافقية كبيرة

\frac{\|h\|_{W_1}}{\|\omega_0\|_{W_1}} \gg 0

← النظام يميل إلى تثبيت المحيطات.

السيناريو 4: التلاشي السريع

إذا كان E_k ينخفض بسرعة أسية

← فجوة طيفية عالية (كبيرة \lambda_2)

← النظام مُجمَّع.

VIII. التصوير المرئي (إلزامي)

• مخطط E_k عبر الزمن (مقياس لوغاريتمي)
• مخطط D_k و C_k
• عرض h على الأضلاع (باللون والسماكة)
• عرض أساس الأشكال التوافقية (إذا كان b_1>0)

IX. التحقق من الصحة

تحقق:

• \omega_{\mathrm{grad}} + \omega_{\mathrm{curl}} + h = \omega_0
• تعامد المركبات
• الاستقرار العددي (الفرق لا يتجاوز 10^{-8})

X. ما يُعد تجربة ناجحة

تُعد التجربة مكتملة إذا:

• تم تحديد b_1.
• تم حساب الأساس التوافقي.
• أُظهرت الإثارات الابتدائية التي تُسقط في الذاكرة.
• تم تثبيت ديناميكية التلاشي.

المستوى التالي

إذا تعمقنا أكثر، فهناك اتجاهان:

• إدخال تقطيع ريتشي المتقطع (Ollivier أو Forman) وربطه بسرعة التلاشي.
• الانتقال إلى تطور المتري (نظير متقطع لتدفق ريتشي).

حينها نضيف إلى البروتوكول توسعتين:

• انحناء ريتشي المتقطع (Ollivier أو Forman) وعلاقته بسرعة التلاشي
• تطور المتري (نظير متقطع لتدفق ريتشي) وكيف يؤثر ذلك على الذاكرة b_1 والتوافقيات

فيما يلي — "البروتوكول v0.2" فوق بروتوكولك Hodge-Diffusion.

البروتوكول v0.2

التشخيص الهندسي وتطور المقياس من أجل WIST-741

XI. توسيع 1: انحناء ريتشي على الرسم البياني وصلته بالتلاشي

XI.1. ما الذي نقيسه

لكل حافة e=(i,j) نحسب الانحناء \kappa(e). ثم نبني التجميعات:

• المتوسط:
  \bar\kappa = \frac{1}{|E|}\sum_{e\in E}\kappa(e)
• نسبة السالبة:
  p_- = \frac{\#\{e:\kappa(e)<0\}}{|E|}
• "خريطة التوتر": топ-10% من الحواف الأكثر سلبية

التفسير (العملي)

• \kappa سالبة: "تباعد المسارات الجيوديسية"، الممرات، فجوات الاتساق، نقاط الاختناق المحتملة في التحكم
• \kappa موجبة: "تقلص"، ترابط عالٍ في الأحياء المحلية، مزج جيد (تلاشٍ سريع للانتشار)

XI.2. اختيار ريتشي الافتراضي عند البدء: فورمان (سريع ومتناثر)

لكي لا نغرق في الحسابات، الافتراضي:

فورمان-ريتشي للحافة e=(i,j) (بدون مبسطات 2)

في أبسط نسخة (للرسم البياني الموزون) تُحسب من التكوين المحلي للجيران. عمليًا يُؤخذ تنفيذ جاهز، لكن المعنى كالتالي:

• يراعي أوزان الرأس/الحافة
• يعاقب "التفرعات" والروابط "الضعيفة"
• يعطي خريطة سريعة للانحناء على كل حافة

لماذا فورمان هو الافتراضي: خطي بالنسبة إلى |E| ويعمل جيدًا على عقدة 741.

إذا أردت "الأصح": أوليفييه-ريتشي

هذا هو Wasserstein-1 بين التوزيعين المحليين \mu_i,\mu_j:

\kappa(i,j)=1-\frac{W_1(\mu_i,\mu_j)}{d(i,j)}

لكن هذا أثقل. نتركه كوضع "التحقق الدقيق" على شبكة فرعية.

XI.3. صلة ريتشي بالانتشار (ما الذي نتحقق منه بالضبط)

أنت تحسب بالفعل في الانتشار:

• E_k=\omega_k^\top W_1\omega_k
• L_k=\|\Delta_1\omega_k\|_2

أضف قياس "سرعة التلاشي":

السرعة الإجمالية (تقدير)

\rho_k = \frac{E_{k+1}}{E_k}

(أقل — يتلاشى أسرع)

السرعة المحلية على الحواف

انظر أي الحواف تحتفظ بالسعة |\omega_k(e)| لمدة أطول.

XI.4. الفرضيات/الأنماط المتوقعة (نختبرها تجريبيًا)

• كلما زاد p_- وانخفض \bar\kappa، كان المزج أبطأ (تلاشٍ أسوأ): \rho_k أقرب إلى 1.
• الحواف ذات \kappa الأكثر سلبية تقع غالبًا في:
• "نقاط الاختناق" (bottlenecks)
• أطياف الذاكرة h
• عند الانحناء الموجب تكون "الحلقات" أقل استقرارًا: غالبًا يقل b_1 عند تعزيز الترابط (لكنه يعتمد على إضافة/إزالة المثلثات وعلى كيفية تحديث الأوزان).

XII. توسيع 2: تطور المقياس — نظير متقطع لتدفق ريتشي

الفكرة: المقياس/الأوزان غير ثابتة. نمنحها تطورًا "يعالج" الهندسة، ويحسّن الترابط وقابلية التحكم، ثم ننظر كيف تتغير b_1 وطيف \Delta_1 والتوافقيات.

XII.1. ما الذي يمثل "المقياس" في العالم المتقطع

لدينا تمثيلان:

• الكلف w_e (طول/ثمن الحافة)
• المواصلات c_e (قوة الارتباط)، غالبا c_e=\exp(-w_e/\tau)

تدفق ريتشي أكثر منطقية على "الأطوال" w_e، لكن من الملائم حسابيا تحديث c_e.

XII.2. المخطط الافتراضي للتحديث (تدفق على الأوزان عبر الانحناء)

نثبّت الانحناء على الحافة \kappa_e (فورمان أو أوليفييه). نحدد "الهدف" \kappa^\* (عادة 0 أو قيمة موجبة صغيرة).

تحديث الأطوال (مستقر أسيا)

w_e^{(t+1)} = w_e^{(t)} \,\exp\Big(-\eta\big(\kappa_e^{(t)}-\kappa^\*\big)\Big)

• إذا كان \kappa_e أدنى من الهدف (سالبا أكثر من اللازم) → معامل >1 أو <1 بحسب الإشارة المختارة؛ نختار بحيث "نعالج" المناطق السالبة:
  الافتراضي: انحناء سالب → تقوية الارتباط → تقصير الطول
  إذن نأخذ:
  w_e^{(t+1)} = w_e^{(t)} \,\exp\Big(+\eta\big(\kappa_e^{(t)}-\kappa^\*\big)\Big)
  (إذا كان \kappa سالبا، \kappa-\kappa^\*<0، يقصر الطول)

ثم نعيد حساب المواصلات:

c_e^{(t+1)}=\exp(-w_e^{(t+1)}/\tau)

ونحدّث W_1.

المعاملات الافتراضية:

• \kappa^\*=0
• \eta = 0.05 (خطوة صغيرة)
• تكرارات 20–50

XII.3. ما نُبقيه "ثابتا"

حتى لا "يكسر" التطور الرسم البياني:

• نحافظ على طوبولوجيا الحواف E (لا نضيف/لا نحذف، الأوزان فقط)
• نقيّد الأوزان:
  w_e \in [w_{\min}, w_{\max}]
  مثلا [0.1، 10] في مقياس نسبي

XII.4. الحلقة التجريبية المدمجة (تدفق ريتشي + انتشار هودج)

خطوة خارجية واحدة لتدفق المقياس وتشغيل داخلي واحد للانتشار:

من أجل t=0..T:

• وفق الأوزان الحالية W_1^{(t)} نحسب \kappa^{(t)} على الحواف
• نحدّث w^{(t+1)} وW_1^{(t+1)}
• (اختياريا) نعيد تجميع W_2^{(t+1)}
• نعيد تجميع \Delta_1^{(t+1)}
• ننفذ أحد الأنماط:
• (أ) طيفيا: نجد b_1^{(t+1)}=\dim\ker(\Delta_1)
• (ب) ديناميكيا: نشغّل الخوارزمية 3 ونحصل على h^{(t+1)}

XIII. مقاييس الملاحظة أثناء تدفق المقياس

في كل خطوة خارجية t نثبّت:

• إحصاء ريتشي: \bar\kappa^{(t)}، p_-^{(t)}
• طيف لابلاسيان 1: عدة \lambda_i^{(t)} الأصغر
• الذاكرة: b_1^{(t)} = \#\{\lambda_i^{(t)}<\epsilon\}
• سرعة الانتشار: \rho^{(t)} (الانحدار الطاقي)
• استقرار التوافقيات: الارتباط/الزاوية بين الأساسين \ker(\Delta_1^{(t)}) و\ker(\Delta_1^{(t+1)})

XIV. الآثار المتوقعة وكيفية قراءتها

XIV.1. إذا كان التدفق "يعالج" المناطق السالبة

• \bar\kappa يزداد، p_- ينخفض
• تتسارع الانتشار (تنخفض الطاقة أسرع)
• تصبح التوافقية h «أنقى» (شوائب أقل من التدرج/الدوامة عند التحليل)

XIV.2. ما قد يحدث لـ b_1

مهم: b_1 كمية طوبولوجية للمركّب (إذا لم نغيّر E والمثلثات)، ويُفترض أن تكون مستقرة في الحالة المثالية.

لكن في الممارسة الحسابية، القيم الذاتية «القريبة من الصفر» قد:

• تنفصل عن الصفر (إذا كانت الأوزان تُنشئ تنظيمًا قويًا)
• أو على العكس تقترب من الصفر (إذا كانت المترية تعزز انفصال البنى الفرعية)

لذلك نميّز:

• الذاكرة الصارمة: \lambda<10^{-10}
• الذاكرة اللينة: \lambda\in[10^{-10},10^{-6}] (شبه-حلقات)

XV. خطة التشغيل الموصى بها (الحد الأدنى)

• Baseline: بدون تطور Ricci — قياس \bar\kappa، p_-، b_1، \rho
• Flow-20: 20 تكرارًا للتدفق — عرض الاتجاهات
• Flow-50: 50 تكرارًا — الاستقرار أو التدهور
• في كل نمط نُشغّل 3 من نوع \omega_0 (A/B/C من البروتوكول السابق)

XVI. الناتج النهائي (ما ينبغي أن ينتج)

• خريطة الانحناء على الحواف (حيث التوتر)
• مخططات \bar\kappa^{(t)}، p_-^{(t)}
• المخططات الطيفية \lambda_i^{(t)} عند الصفر
• مجموعة التوافقيات (أساس الذاكرة) قبل/بعد التدفق
• مقارنة سرعة تلاشي الانتشار قبل/بعد

سأنجز الخطوة التالية في شكل «خط الأنابيب الموحّد WIST-741»: شيفرة زائفة من مستوى «شغّل واحصل على تقرير» (build → triangles → operators → hodge → diffusion → ricci → flow → compare)، بمعاملات واضحة ونقاط تسجيل.