SYSTEM DER ALGORITHMEN

SYSTEM DER ALGORITHMEN

Algorithmus 2: 

Vollständige diskrete Hodge-Zerlegung (k=1) für EQUILIBRIUM-741

Ziel: Für einen gegebenen Fluss (1-Form auf den Kanten) \omega\in\mathbb{R}^m bestimmen: \omega = \omega_{\mathrm{grad}} + \omega_{\mathrm{curl}} + h,

wo:

• \omega_{\mathrm{grad}} = d_0\varphi = B^\top\varphi,
• \omega_{\mathrm{curl}} = \delta_2\psi,
• Harmonische 1-Form
  \delta_1 h = 0,\qquad d_1 h = 0.

Dateneingabe

• Graph G orientiert=(V,E), |V|=n=741, |E|=m.
• Gewicht der Rippen (Leitfähigkeit) c_e>0 oder Wert w_e>0.
• Dreiecke F (2Die Default Triangles v0.1, |F|=p.
• Fluss \omega\in\mathbb{R}^m auf orientierten Kanten.

Schritt 0. Gewichte und Metriken

0.1. Wenn Sie die Kosten w_e haben, übersetzen Sie in die Leitfähigkeit

c_e=\exp(-w_e/\tau).

Setze zusammen:W_1=\mathrm{diag}(c_e)\in\mathbb{R}^{m\times m}.

0.2. Gewicht der Dreiecke

Nach Zahlungsausfall:

W_2=\mathrm{diag}(w_t),\quad w_t=\frac{1}{3}(c_{ij}+c_{ik}+c_{jk}).

Schritt 1. Kompilieren Sie die Grenzoperatoren B und B_2

1.1. Zufallsknoten - Rebro

B\in\mathbb{R}^{n\times m} gemäß der gewählten Kantenorientierung.

1.2. Zufälliges Rippen-Dreieck

B_2\in\mathbb{R}^{m\times p}

nach kanonischer Ausrichtung der Dreiecke t=[i,j,k] (mit i<j<k) und der Regel:

\partial[i,j,k]=[j,k]-[i,k]+[i,j].

Schritt 2. d und \delta bestimmen

Diskrete Differentiale:

d_0 = B^\top : \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\qquad d_1 = B_2^\top : \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p.

Ausgewogene Kodifferenziale:

\delta_1 = B W_1 : \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n,

\delta_2 = W_1^{-1} B_2 W_2 : \mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^m.

(Dies ist mit den Skalarprodukten vereinbar: \langle\cdot,\cdot\rangle_1 = \cdot^\top W_1 \cdot und \langle\cdot,\cdot\rangle_2 = \cdot^\top W_2 \cdot.)

Schritt 3. Den Gradientenanteil bestimmen \omega_{\mathrm{grad}}

Wir lösen die Aufgabe für das Potenzial \varphi\in\mathbb{R}^n:

\varphi = \arg\min_{\varphi}\|\omega - d_0\varphi\|_{W_1}^2.

Normalgleichungen:

L_0\,\varphi = \delta_1 \omega, \qquad L_0 := \delta_1 d_0 = B W_1 B^\top.

3.1. Kalibrierung (erforderlich)

Da L_0 einen Kern (Konstanten) hat, machen wir eine der folgenden:

• wir setzen \varphi_{v_0}=0 fest (Ankerknoten)
• oder wir ergänzen die Bedingung \sum_i \varphi_i = 0

3.2. Wir erhalten

\omega_{\mathrm{grad}} = d_0\varphi = B^\top\varphi,

r_1 = \omega - \omega_{\mathrm{grad}}.

Steuerung:

\delta_1 r_1 = 0 \quad (\text{bis auf den numerischen Fehler}).

Schritt 4. Den Wirbelanteil bestimmen \omega_{\mathrm{curl}} über \psi auf Dreiecken

Wir suchen \psi\in\mathbb{R}^p als:

\psi = \arg\min_{\psi}\|r_1 - \delta_2\psi\|_{W_1}^2.

Normalgleichungen:

L_2\,\psi = d_1 r_1, wobei

L_2 := d_1 \delta_2 = B_2^\top W_1^{-1} B_2 W_2.

4.1. Eichung für \psi

Wenn der Komplex 2-Zyklen, L_2 kann auch degeneriert sein. Nichterfüllung:

• Bedingung \sum_t \psi_t=0
  oder wir setzen \psi_{t_0}=0.

4.2. Wir erhalten

\omega_{\mathrm{curl}} = \delta_2\psi = W_1^{-1} B_2 W_2\psi,

h = r_1 - \omega_{\mathrm{curl}}.

Schritt 5. Qualitätsprüfungen und Diagnostik

5.1. Harmonisch

Wir überprüfen zwei Bedingungen:

• Divergenz Null:
  \|\delta_1 h\|_2 \approx 0
• Wirbel Null:
  \|d_1 h\|_2 \approx 0

Wenn beide klein sind, ist die Auflösung korrekt.

5.2. Orthogonalität (in W_1-Metrie)

Überprüfen Sie:

\langle \omega_{\mathrm{grad}}, \omega_{\mathrm{curl}}\rangle_{1}\approx 0, \quad \langle \omega_{\mathrm{grad}}, h\rangle_{1}\approx 0, \quad \langle \omega_{\mathrm{curl}}, h\rangle_{1}\approx 0.

5.3. Energiekomponenten (Diagnose der "Struktur der Seele")

Definieren Sie:

E_{\mathrm{grad}}=\|\omega_{\mathrm{grad}}\|_{W_1}^2,\quad E_{\mathrm{curl}}=\|\omega_{\mathrm{curl}}\|_{W_1}^2,\quad E_h=\|h\|_{W_1}^2.

Interpretation:

• großes E_{\mathrm{grad}}: Das System ist „potenzialbestimmt“ (lässt sich auf eine Neueinstellung der Niveaus zurückführen)
• großes E_{\mathrm{curl}}: lokale Zirkulationen/Rhythmen dominieren
• großes E_h: starkes strukturelles Gedächtnis (nicht durch Diffusion abgewaschen)

Schritt 6. Bauen 1-laplasian und “Kristallgedächtnis” als Kern

Wir definieren Hodge-Laplacean auf 1-Formen:

\Delta_1 = d_0\delta_1 + \delta_2 d_1.

In den Matrizen (gemäß unseren Definitionen):

\Delta_1 = B^\top B W_1 + W_1^{-1} B_2 W_2 B_2^\top.

Gedächtnis des Kristalls auf der Ebene k=1: \dim\ker(\Delta_1) \;=\; b_1

(die erste Zahl des Betty-Komplexes, mit korrekter Diskretisierung).

Praktisch:

• du findest mehrere Eigenwerte \lambda\approx 0
• Anzahl solcher \lambda = Dimension des „Gedächtnisses“

Ausgang Algorithmus 2

• \omega_{\mathrm{grad}}\in\mathbb{R}^m
• \omega_{\mathrm{curl}}\in\mathbb{R}^m
• h\in\mathbb{R}^m
• diagnostische Kennzahlen: \|\delta_1 h\|, \|d_1 h\|, Energien E, und \dim\ker(\Delta_1)

Praktisches „Minimum für den Start“ auf EQUILIBRIUM-741

Wenn Sie dies ohne lange Vorbereitung implementieren möchten:

• Graph: kNN (k=12), Gewichte c_e=\exp(-w_e/\tau)
• Dreiecke: Größenklicks 3 mit cap=60/Knoten
• Zusammenbau: B, B_2, W_1, W_2
• Löser: zweimal dünn besetzte symmetrische Systeme lösen (für \varphi und \psi)
• Diagnose: Normen und Energien, anschließend das Spektrum von \Delta_1 nahe null

Wenn du möchtest, gebe ich dir als nächsten Schritt Algorithmus 3: „Seelenkristall — Diffusion auf 1-Formen“: So startet man \frac{d\omega}{dt}=-\Delta_1\omega

und beobachten, wie \omega(t) gegen h (Gedächtnis) strebt, sowie wie die Steuerung \mathcal{U}(t) eingebunden werden kann.

Algorithmus 3: 

Diffusion auf 1-Formen und „Sichtbarwerden des Gedächtnisses“ des Seelenkristalls (EQUILIBRIUM-741)

Ziel

Starten Sie die Dynamik an den Threads (1-Formen an den Rippen), um:

• glätten lokale Spannungen/Wirbel
• harmonische Komponente h (Strukturgedächtnis)
• - bei Bedarf den Prozess durch äußere Einflüsse steuern

Anmeldung

• Verdünnte B-Matrix, B_2 (aus dem Algorithmus 2)
• Gewichtungsmatrizen W_1=\mathrm{diag}(c_e), W_2=\mathrm{diag}(w_t)
• Anfangsfluss (1-Form) \omega_0\in\mathbb{R}^m
• (Optional) Steuerung \mathcal{U}(t)\in\mathbb{R}^m oder Impulse

Vorbereitung: Hodge-Laplacean auf 1-Formen zusammenbauen

Wir verwenden ein vereinbartes Standardformular (aus dem Algorithmus 2):

\Delta_1 = d_0\delta_1 + \delta_2 d_1

Wo

d_0=B^\top,\quad \delta_1=B W_1,\quad d_1=B_2^\top,\quad \delta_2=W_1^{-1}B_2W_2.

In Form von "zwei Beiträgen":

1) Oberer (gradienter) Beitrag

\Delta_{1,\mathrm{up}} = d_0\delta_1 = B^\top B W_1

2 Unterer (Wirbel-) Beitrag

\Delta_{1,\mathrm{down}} = \delta_2 d_1 = W_1^{-1} B_2 W_2 B_2^\top

Gesamt:

\Delta_1=\Delta_{1,\mathrm{up}}+\Delta_{1,\mathrm{down}}.

Teil A. Lineare Diffusion (ohne Steuerung)

A1. Kontinuierliche Dynamik

\frac{d\omega}{dt} = -\Delta_1\,\omega.

Formal beschlossen:

\omega(t)=e^{-t\Delta_1}\,\omega_0.

Bedeutung: Alle Komponenten außerhalb von \ker(\Delta_1) klingen ab. Es bleibt die Projektion auf den Kern — das harmonische Gedächtnis.

A2. Diskretisierung im Laufe der Zeit: “Implizite Euler” (stabile Default)

Wir wählen die Schrittweite \Delta t>0 und berechnen:

\omega_{k+1} = \omega_k - \Delta t\,\Delta_1\,\omega_{k+1}

Wir lösen ein lineares System:

(I+\Delta t\,\Delta_1)\,\omega_{k+1}=\omega_k.

Warum ist das so:

der implizite Schritt ist für alle \Delta t stabil (wichtig bei großen Graphen).

A3. Stopp: Wenn “Gedächtnis manifestiert”

Wir machen einen Stopp nach einem der Kriterien:

• kleine Veränderung
  \frac{\|\omega_{k+1}-\omega_k\|_{W_1}}{\|\omega_k\|_{W_1}} < \varepsilon_{\mathrm{stop}}
• wenig Energie außerhalb des Kerns (Rest “Abschwächung”)
  \|\Delta_1\omega_k\|_2 < \varepsilon_{\mathrm{lap}}

Ergebnis: h \approx \omega_k — der manifestierte harmonische Anteil.

Teil B. Diagnose während des Prozesses

Bei jedem Schritt zählen Sie drei Werte (nützlich für die "Seelenkarte"):

B1. Divergenz (Knoten "Leck/Leck")

\mathrm{div}(\omega_k)=\delta_1\omega_k=B W_1\omega_k\in\mathbb{R}^n.

B2. Wirbel (dreieckige Zirkulation)

\mathrm{curl}(\omega_k)=d_1\omega_k=B_2^\top\omega_k\in\mathbb{R}^p.

B3. Energie (Stromspannung)

E(\omega_k)=\|\omega_k\|_{W_1}^2=\omega_k^\top W_1\omega_k.

Interpretation des Diffusionsprozesses:

• \|\mathrm{div}\| nimmt ab → das „Ungleichgewicht an den Knoten“ verschwindet
• \|\mathrm{curl}\| nimmt ab → die lokale Zirkulation verschwindet
• bleibt h, wo sowohl die Divergenz als auch der Wirbel nahe bei Null liegen

Teil C. Verwaltete Diffusion (Intervention)

C1. Kontinuierliches gefahrenes Modell

\frac{d\omega}{dt} = -\Delta_1\omega + \mathcal{U}(t).

C2. Diskreter impliziter Schritt mit Management

(I+\Delta t\,\Delta_1)\,\omega_{k+1}=\omega_k + \Delta t\,\mathcal{U}_k.

C3. Ausfallmanagement-Strategien (drei Modi)

Modus 1: “Lokaler Impuls”

Wir wollen den Fluss auf einer ausgewählten Kantenmenge S\subset E verstärken/abschwächen:

(\mathcal{U}_k)_e= \begin{cases} u_k(e), & e\in S\\ 0,& e\notin S \end{cases}

Modus 2: “Wirbellöschen”

Wir intervenieren proportional zum Wirbel:

\mathcal{U}_k = -\eta\, W_1^{-1} B_2 W_2\,(B_2^\top \omega_k)

Dies ist eine direkte Unterdrückung der Komponente \delta_2 d_1\omega.

Modus 3: “Verringerung des Potenzials”

Wir greifen proportional zur Divergenz ein:

\mathcal{U}_k = -\eta\, B^\top (B W_1 \omega_k)

Dies dämpft den Beitrag von d_0\delta_1\omega.

Teil D. "Projektion auf das Gedächtnis" als alternative schnelle Methode

Wenn Sie nicht wollen, um die Zeit zu fahren, können Sie sofort den harmonischen Teil berechnen:

h = \Pi_{\ker(\Delta_1)}\,\omega_0

Praktisch:

• mehrere Eigenvektoren \phi_1,\dots,\phi_r mit \lambda\approx 0 bestimmen
• die Matrix \Phi=[\phi_1\ \dots\ \phi_r] zusammensetzen
• Projektion:
  h = \Phi(\Phi^\top W_1 \Phi)^{-1}\Phi^\top W_1 \omega_0

Diffusion ist nützlich, weil es "Tracks" von Dämpfung und Spannungskarten über die Zeit gibt.

Ausgang Algorithmus 3

• Folge \omega_k (Entwicklung der Flüsse)
• h\approx \omega_{k^\*} — manifestiertes harmonisches Gedächtnis
• Diagnosereihen: \|\delta_1\omega_k\|, \|d_1\omega_k\|, E(\omega_k)

Default-Parameter (um nicht zu denken)

• \Delta t = 1.0
• \varepsilon_{\mathrm{stop}} = 10^{-4}
• \varepsilon_{\mathrm{lap}} = 10^{-6}
• Anzahl der Schritte: maximal 200 (normalerweise weniger)